Bézierovy křivky: splines a zobrazení vektorové grafiky v matplotlib

Vektorové křivky (splines) v souborech typu .ai nebo .eps jsou často reprezentovány pomocí Bézierových křivek. Každá Bézierova křivka je definována pomocí:

1. Bodů:

   • Počáteční bod: Tam, kde křivka začíná.
   • Koncový bod: Tam, kde křivka končí.
   • Ovládací body (control points): Body, které určují směr a zakřivení křivky.

2. Tvarovacích čar: Tyto čáry se nazývají "tangentové úsečky" a spojují ovládací body s odpovídajícím koncovým nebo počátečním bodem. Každá křivka má dvě tangentové úsečky:

   • Jednu vycházející z počátečního bodu.
   • Druhou vedoucí ke koncovému bodu.

---

Jak se Bézierovy křivky zapisují v PostScriptu

V souboru typu .ai jsou Bézierovy křivky často popsány příkazy jako c (curve to) nebo v (smooth curve to).

Například řádek:

1.7827 0.2309 1.7306 0.2781 v

Význam částí:

1.7827 0.2309: První ovládací bod (control point 1).

1.7306 0.2781: Koncový bod křivky.

 

Tento příkaz implicitně bere poslední bod předcházející křivky jako počáteční bod a počítá:

• Směr a vzdálenost první tangentové úsečky z předchozího bodu.
• Směr a vzdálenost druhé tangentové úsečky směrem ke koncovému bodu.

Pokud by byl použit příkaz c místo v, byly by uvedeny všechny tři body (počáteční bod je uveden samostatně, zatímco u v je implicitní).

---

Jak se počítají a vykreslují Bézierovy křivky

Křivky jsou interpolovány na základě matematické rovnice pro Bézierovy křivky. Pro kvadratickou Bézierovu křivku se používá: $B(t) = (1-t)^2 P_0 + 2(1-t)t P_1 + t^2 P_2$ Pro kubickou Bézierovu křivku: $B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3(1-t)^2 t P_1 + 3(1-t)t^2 P_2 + t^3 P_3$

Kde:

• $P_0$: Počáteční bod.
• $P_1$: První ovládací bod.
• $P_2$: Druhý ovládací bod.
• $P_3$: Koncový bod.
• $t$: Parametr v intervalu [0, 1].

 

---

Vizualizace tvarovacích čar

Pokud chcete vidět polohy ovládacích bodů a tangentových čar v Pythonu, můžete vykreslit graf:

Příklad kódu:

import matplotlib.pyplot as plt

# Body (počáteční bod, ovládací body, koncový bod)
P0 = (0.0998, 24.5288)   # Počáteční bod
P1 = (1.7827, 0.2309)    # Ovládací bod 1
P2 = (1.7306, 0.2781)    # Koncový bod

# Vypočítej body na křivce pomocí kubické Bézierovy rovnice
t_values = [t / 100 for t in range(101)]  # Rozdělení t na 0.01 intervaly
curve_points = [
    (
        (1-t)**2 * P0[0] + 2*(1-t)*t * P1[0] + t**2 * P2[0],  # x souřadnice
        (1-t)**2 * P0[1] + 2*(1-t)*t * P1[1] + t**2 * P2[1],  # y souřadnice
    )
    for t in t_values
]

# Rozdělení na x a y souřadnice
curve_x, curve_y = zip(*curve_points)

# Vykreslení Bézierovy křivky
plt.plot(curve_x, curve_y, label="Bézierova křivka")

# Vykreslení bodů a tangentových čar
plt.scatter(*zip(P0, P1, P2), color="red", label="Body (P0, P1, P2)")
plt.plot([P0[0], P1[0]], [P0[1], P1[1]], "r--", label="Tangentová úsečka P0-P1")
plt.plot([P1[0], P2[0]], [P1[1], P2[1]], "r--", label="Tangentová úsečka P1-P2")

plt.legend()
plt.title("Vizualizace Bézierovy křivky")
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.grid()
plt.show()

---

Výstup:

Tento graf ukazuje:

1. Bézierovu křivku jako hladkou čáru.
2. Ovládací body (červené body).
3. Tangentové úsečky, které spojují body P0–P1 a P1–P2.

Tímto způsobem lze vizualizovat nejen samotné křivky, ale také efekt ovládacích bodů na jejich tvar.